面向21世纪课程教材（上）读后感1000字

《面向21世纪课程教材（上）》是一本由华东师范大学数学系著作，7-04出版的平装图书，本书定价：33.20元，页数：344，特精心收集的读后感，希望对大家能有帮助。

《面向21世纪课程教材（上）》读后感(一)：华师大学生对于这本书的评价及理由

先说结论：这是你能在中文数分教材里找到的最烂的教材之一了。我是华师大数学系在校学生，我们用的是第五版的，我们数分老师是第五版编写第二部分的吴畏老师，而就连本书的作者之一上课也不按照这个课本讲（用的是自编讲义），只是用它来布置作业题。这就已经能从侧面说明一些事情了，再以傅立叶级数为例来对比一下这本书，复旦陈的数分开始给你讲了为什么要研究傅立叶级数（因为幂级数条件太严格），在行文过程中还顺带着对这一部分数学史的讲解，对收敛定理有着很严密细致的解释证明和推广，还有中科大史的数分，北大张筑生的数分等等，它们都各有特色讲解细致全面，但是华师的数分，不仅以上所有东西都没有，对于收敛定理那里的什么是“按段光滑”的定义就一句云里雾里的长难句，还是个病句。以上的例子不胜枚举。这本书的定位就很尴尬，比上，内容缺失严重（再举Fourier级数的例子，他就三节，一节是对周期2pai研究，一节是对周期2L研究，一节是证明第一节的定理（这行文逻辑？？？），实际上这三节在别的书里就一节半到两节的内容，然后就没了别的任何东西了），什么都是只讲一内内就浅尝辄止（以级数为例，这是我见过唯一一本后面不讲无穷乘积的），没有任何高观点的拓展内容（张筑生的数分还有中科大的数分好歹都有用幂级数逼近连续函数的部分，它啥都没得），比下，你说你讲的少就少吧，你能给人讲清楚不？讲不清楚内容很多跳跃证明让自己脑补，课本后面习题也没有任何提示或者讲解，只有个孤零零的答案。就这，书还买的挺贵，一本大概45块，无语

《面向21世纪课程教材（上）》读后感(二)：读华东师大《数学分析》

第一次读的是这本书（以下称《数分》）的第三版。读过第四版的前言，发现变化不大。这本书最大的不足是没有基本的集合论。什么是有限，无限？什么是可数，不可数？什么是集合的等势？对一本同样 “追求以严格的数学概念为基础，强调系统的逻辑性”的数学分析入门教科书来说，不在一开始就讲集合论是不应该的事情。另一方面，这本书强调数学分析应该从ε-δ开始学习。那么基本的数理逻辑就是必不可少的内容，至少应该在附录出现。

可以阅读下面的内容作为集合论重要的补充：

对于数理逻辑部分，可以读

实数理论

《数分》把实数理论放到了附录，可以理解。但是非常重要的用等价柯西序列定义实数的方法，书中没有明显提到。这个重要的方法在度量空间有很直观的推广。可以补充阅读Tao Analysis (Vol. I) 的Chapter 4。《数分》第七章第二节的上下极限是非常重要的内容，在实变函数论中几乎处处用到。实在不应该划为选学。（相反，不定积分一章的有理函数积分完全可以改作选学内容。）

三角函数

三角函数的严格定义需要用到级数，《数分》没有提到。

用“度量空间的拓扑”去代替第七章的第一节和第十六章第一节的完备性定理会使相关的内容清楚得多。可以参考阅读Rudin 的第二章。

《数分》上册的下半部分（从第八章开始）是一元积分。

第八章不定积分不宜讲太多的计算。为了计算而计算没什么意义。尤其是有理函数积分一节，搞清楚基本的思路和简单的例子就可以了。大量练习各种怪异的不定积分纯粹是浪费时间。

第九章定积分的ε-δ定义的准确理解要用到“导集（directed sets）”和“网（nets）”的概念。书中没有提到。

第十章第3节与下册的曲线积分有重合，而且在微分几何入门的时候会重新遇到相关的概念。完全可以跳过。

第十一章的反常积分除了基本的定义外都可以暂时作为选学内容。在实际应用中，这部分内容往往是被勒贝格积分代替的。

《数分》下册最后一章的向量函数微分学在美国本科的实分析课里是绝对必不可少的内容。而作者也在前言中写，“这一章目前暂作选学材料，期望今后能逐步用向量函数的方式取代传统内容成为多元函数微分学的主体。” 实际上完全可以把第十九章的含参量积分变作选学内容，而用最后一章的向量函数微分学代替第十八章的隐函数定理。

《面向21世纪课程教材（上）》读后感(三)：数学分析（上册）学习心得（目前到第一章）

先评价教材：很严谨的写法，前后都有呼应，是结合了苏联和美国教材特点的写法，可还偏向苏联一遍，入门较为困难，需要反复学习才能较为透彻的领悟。习题选的很好。

再说下学法（主要是本人踩过的坑）：

1.数学分析这门课的思维其实是开放式论证的，在推导出结论前结论是否正确并不知道，所以真的要“分析”而非“预设”；而很多时候我们偏偏喜欢搞成封闭式解释的思维，利用结论去寻找相关的线索，再反过来论证结论，这种‘做题家思维’其实是很不适合这门课的，有些走偏了。故证明真的要自己学会分析学会书写，光看懂不顶用的。

2.我个人两个学习方法的问题：一是还不能完全脱离答案学习；二是对于高阶知识，我在透彻理解能将其还原到低阶知识后，就懒得去记忆它，这其实也不太对。 有些知识点还是需要熟记的。

最后是学习心得体会：

第一章 实数集与函数

这一章是数学分析的基础，在本章我们将一些有理数的性质推广到实数，并在此基础上给出确界（与极限有关）和实数域上的函数概念。至于区间与邻域、函数的运算（含复合与反函数）、某些特殊性质的函数都是在其基础上的零散知识点，需要的是记忆和运用而非单纯理解。

第一节 实数

愚以为，这一节重点要处理的问题是：实数的有序性（这一点与实数和数轴这一有向直线上点一一对应密切相关，比如某些二维量如向量和复数就不具备有序性），这一点延伸出实数的传递性、阿基米德性和稠密性等性质。

那么，这就不可避免的涉及到实数的比较，教材上的办法是“逐位比较”，那么就需要将实数化为较统一的形式，这就形成两种思路：

（1）将全体实数都写成无限小数的形式，再直接逐位比较

（2）将全体实数用n位不足近似值和n位过剩近似值来逐位逼近（n越大逼近效果越好），再借助数与数之间这两个近似值（都是有理数）的大小关系，实现间接比较（这里其实已经涉及确界原理的证明思路了）

其余零散要点还有：实数绝对值的性质及常规处理手段（习题2,4,5,6,9），实数（有理数）运算的封闭性（注意证明时常用反证法转移到有理数域，如习题1,3,8），如何证明一数在不知大小的两数之间。

第二节 数集·确界原理

本节首先介绍常见的两种连续实数集——区间与领域。应注意，两者之间的用途存在差异：区间适合表述非对称实数集（如[a,+∞)），邻域适合表述对称实数集U(a；δ)（对称点即中心点a，有时用空心邻域能很方便去掉中心点a）。

容易看到，一般的区间[a,b]和邻域U(a；δ)都是有界集，于是顺势提出上（下）界和有界集的概念。而对有界集而言，上下界存在无限个，我们重点需要研究的是上下界的临界，故又提出上下确界概念。这里应注意，教材上只给出了上（下）界的η-α定义（ξ-β定义），实际上我们证明时常用η-ε定义（ξ-ε定义）（见习题4），这点需要补充学习。

但研究上下确界，有个前提，是这个极限真的存在？那么存在吗？确界原理的证明通过不断构造一个无限小数上界η=n.n1n2n3...nk...，并用上确界的定义证明了这个η就是我们想要的上确界。从而证明了确界的存在性。

至于习题，大多是定义和概念的书写或直接运用（习题1-5）。但值得注意的是，在证明与上下确界有关的等式（或不等式，见例4，例5，习题6和7）时，我们一定要先分清楚要证明的等式的自然语言意义是什么，即“。。。的上（下）确界就等于。。。的值”，再开始分析和证明。

第三节 函数概念

本节对中学学的函数概念进行进一步的严格化，并将指数函数、幂函数和对数函数中的幂运算（对数是幂运算的逆运算）扩充到实数集上（这里要借用确界概念，用有理数幂去逼近无理数幂）。概念本身没什么好讲的，只是要注意数与数、数集与数集的对应有些许差别。

函数的表示法其实是4种：列表法（例如最早的对数），解析法（公式法，数学分析中的主要方法），图像法（注意有的函数有图像但无法准确画出，只能画示意图，如Dirichlet函数D(x)和Riemann函数R(x)，这些函数不宜用图像法表示），描述法（如D(x)，R(x)和高斯函数[x]）。

函数的四则运算和复合：这里注意定义域（通常是存在域）的求法，四则运算是各函数定义域的交集；而复合函数（以二重复合为例）f(g(x))的定义域却是内函数的定义域与外函数关于x的不等式的解集之交集。这两者是不同的。

反函数：这里要注意几个例子，周期函数y=sinx（x∈R）和y=tanx(x≠kπ+π/2)的反函数是y=arcsinx（x∈[-1，1]）和y=arctanx（x∈R），反函数的一个函数值不止对应原函数一个自变量的值，这就造成f（f-1（x））=x成立，但f-1（f（x））=x却不成立（参见习题9,10）。即是说：sin（arcsinx）=x，x∈[-1,1]和tan（arctanx）=x，x∈R成立，但arcsin（sinx）=x，x∈R和arctan（tanx）=x，x≠kπ+π/2却不能成立。

至于基本初等函数，初等函数和非初等函数，在初等函数分解时，应注意“逐级分解到基本初等函数为止”。而且记住几个例子，绝对值函数|x|=sqrt（x^2）（见习题11），最大最小值函数max{x}，min{x}都是初等函数（见总练习题1）；而D(x)，R(x)，[x]都是非初等函数，无法用基本初等函数四则运算或复合而成。

至于习题，大多是高中阶段甚至高一的水平。但需要留意习题8和习题12的结论与推导过程，比较常用。

第四节 具有某些特性的函数

本章介绍4类特殊的函数：有界函数，单调函数，奇偶函数，周期函数；分别对应有特殊值域的函数，有特殊增减性的函数，有特殊对称性的函数，有特殊取值特点的函数。

先看有界函数，教材仿造有界集的概念给出有界函数的定义（及类似概念的定义）。这里需要注意的是例2与习题7的对比，即：sup（A+B）=supA+supB而sup(f(x)+g(x))≤supf(x)+supg(x)（下确界类似），即集合是等式，而函数是不等式（等号成立条件在教材有例子）。这里甚至还有总练习题12的结论成立：supf（x）+infg(x)≤sup(f(x)+g(x))≤supf(x)+supg(x)。

再说单调函数，这里和中学的一些说法有差异，分成了单调和严格单调之分。并证明了严格单调函数具有反函数，且单调性相同。顺便证明了实数指数函数的严格单调性（这里回顾一下，无理数指数幂和有理数指数幂在第2节写成了统一形式），并利用结论，说明了其反函数——对数函数——也具有严格单调性。

再谈谈奇偶函数，这里和中学没有什么不同。但要注意习题6的结论（当然还有总练习题11），任意在定义域[-a,a]函数f(x)有2f(x)=[f（x）+f（-x）]+[f（x）-f（-x）]，容易看出，f（x）+f（-x）和f（x）-f（-x）分别是偶函数和奇函数，即是说任何一个函数若定义在[-a,a]上，就可以表示为一个偶函数加上一个奇函数的形式。进一步，如果这个函数中的奇函数和偶函数都不为0，那么这个函数一定非奇非偶。这就是教材上y=cosx+sinx为何是非奇非偶函数的深层原因。此外，还需要补充学习如何将一个非奇非偶函数进行解析延拓（奇延拓或偶延拓），使之变成一个分段的奇函数或偶函数（总练习题14）

最后是周期函数。这里提出了周期和基本周期的区分，需要注意。此外，除了常见的三角函数是周期函数，教材还给出了y=x-[x]，D(x)（习题10），y=c（常值函数）这些例子，说明了周期函数形式的多样性。

习题部分，大多是中学内容。不过习题7,8,9,10,12还是需要花工夫抠一下的。