《高观点下的初等数学》经典读后感有感

《高观点下的初等数学》是一本由Felix Klein著作，复旦大学出版社出版的32开图书，本书定价：68，页数：812，特精心收集的读后感，希望对大家能有帮助。

《高观点下的初等数学》读后感(一)：名著

一个大数学家的科普，看似无聊没必要，事实是恰恰相反！····························································································································································································································································································································································································································································································································································································。

《高观点下的初等数学》读后感(二)：数学从数数开始

历史地说，数学从数数开始，到计算各种各样的数字。人们几乎总是先想办法“算出来”、然后再去探讨计算的理论解释，并发现更强大、更通用的计算工具。

举个简单的例子，算积分最初的需求是计算不规则形状的面积和体积，一个形状一套算法。后来有了牛顿-莱布尼兹公式，积分转化为微分来算，后者容易得多了。再后来研究积分的理论基础，极限过程、epsilon-delta语言，一直到解决了实数的连续性问题，将积分归纳到分析中。

但是从欧几里得开始，教数学和学数学的过程却是反过来的：先建立公理体系，再严格推导出一套完整理论，最后简单做几道“应用题”。例如理科教积分就是先讲实数连续性，积分就是上和和下和。工科教积分更简单，会算几种最典型函数的积分就行。

不可否认现有的数学工具一般来说是够强大了，问题在于工具太多，不知道哪个在哪儿趁手。面对教科书上没讲过的问题时，只能生搬硬套，或者手足无措。比如我之前一段时间就这个状态。于是开始读各种各样的数学。于是读到这本书。于是它用揭示历史真相的方式，在很大程度上扭转了学院派数学常见的恶果。

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书是好书。讨论的内容是初等数学，但用到的方法和理论属于高等数学，甚至是到作者的年代——20世纪早期为止最高等的数学。如研究e和π的超越性，是19世纪后期的成果。

作者对代数、几何、分析的融会贯通也是后来的数学书很难具备的。有人说希尔伯特以后再无数学家能搞懂所有的数学论文。现代科学越来越细致的分工，有时令人绝望。

和细致分工一道而来的就是研究“纯”数学的人越来越多，自诩的理论纯洁性一再拔高，面对“有什么用”的质疑众口一词：以后会有用的。也许以后的确会有用，那为什么不到用的时候再去研究？聪明的脑袋用来思考百年以后，是不是一种资源的浪费呢？

顺便提一个反例，最近很热的一个领域Compressive Sensing，一些重要的证明有数学天才Terence Tao的参与。似乎数学家和工程师通力合作，公式很快就能变成生产力。

真希望有个数学家来帮我。

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最后吐槽一下翻译。译者很认真的改掉了一些英译本的bug，但为啥要留着那么多德语词（特别是书名）不译呢？

《高观点下的初等数学》读后感(三)：数学只有站得高才能看得远

本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。

克莱因认为函数为数学的”灵魂”。应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导”高观点下的初等数学”意识。《高观点下的初等数学》一书共分3卷。第一卷：算术、代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。在这本书中，克莱因提出，函数应为数学的“灵魂”，应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容；要求用变换观点改造传统几何内容，倡导“高观点下的初等数学”意识。在克莱因看来，一个数学教师的职责是：“应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”；基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。

教师应该具备更高的数学观点. 理由是, 观点越高, 事物越显得简单. 《高观点下的初等数学》一书, 读来感到十分亲切。这是因为：

一、用高等数学的知识去统一初等数学的松散体系，用高等数学的思想方法去总结初等数学的解题规律，用高等数学的理论对初等数学作新推广和深发展；

二、通过简要介绍并适当补充与中学数学的密切联系的现代数学内容，用较高的观点研究初等数学，分析研究初等数学的重要概念、思想和方法，研究现代数学与初等数学的联系，从而使中学数学教材教法得到居高临下、深入浅出地理解和处理。

三、结合现代数学思想方法，对中学数学教材中那些讲得不透彻的、薄弱的内容，加以分析、充实提高，帮助教师更好地把握教材。

四、中学数学教育的中心应实现三个转变：从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意识；从常量数学到变量数学的转变；从直观描述到严格证明的转变，建立严密的逻辑思维意识。还要向学生提供数学主流的核心部分，为学习微积分、统计学和计算机做好准备。

相比而言，高等数学所涉及的知识点当然要比初等数学所涉及的多(而且深)。一个初等数学问题，往相应的高等数学领域转化，就是“趋密”，该策略有两种体现：升格和降格。升格就是把问题从局部归结为整体，从低维提高到高维，从具体提升到抽象的策略；降格是遵循人们认识事物的规律，把复杂、多元、高维的问题情形，分解、降维为简单、一元、低维的情形，如特殊化方法，可以将问题转化为我们熟悉的情形，从而找到解题的“感觉”。

“高观点”是一种行为，即运用高等数学的知识、思想和方法，来分析、解决初等数学问题。而人的行为受意识所支配，这就有自觉和不自觉之分。自觉运用“高观点”的行为，是这一思想的显性状态，而不自觉的行为则是隐性状态。一种思想的显性状态，使人目标明确，方法明显，但容易陷入思维定势；相比之下，隐性状态虽然使人一时方法未定，但思维却更具广阔性和灵活性。总之，一句话“站得高才能看得远”。

《高观点下的初等数学》读后感(四)：提交（卷一、卷二）的初步勘误信息

今下午刚读完（第二卷），整理一下勘误收获，如下：

卷一）吴大任·前言）

iii页――5行：“下面分别举两个举例的例【+子】”18行：“克莱因举了一个例【+子】来说明…”――11、12行：“…无论是否愿意…采纳克莱因所建议的引进对说的方式，有一点是【+可以】肯定的：如果他了解作为复数的对数函数，当他讲实数时，就会心中有【效#数】，有可能弥补漏洞……”――iV页19行：他讲数学历史，是因为，他认为学生对数学的认识，在某【个#种（？）】意义上，是【+与】人类对数学认知的历史过程相应的。”――Vii页-6、-7行：“克莱因认为【:#，】几何基础可能要以算术为起点，却不能脱离几何直观【，#；】而且他讲算术问题时，总要结合几何图像。”――Viii18行：“希望我国有【众#更】多人像克莱因【那样#这样】关心数学教师的培养与提高，…”

齐民友《纪念克莱因…》

Viii页-3行：“‘理念’【溶化#融化】在数学中，呼之欲出，而有不显踪影。【这样#因此】，读这本书，你会感觉极有收获，而不得不心悦诚服。”――11页17~19行：“我们在讨论第一派的观点时采取的立场是：数学的可靠性在于存在着与其定理相适应的直觉的东西【，#；】但拥有形式立场的一派却必须这么讲：数学的可靠性在于它能证明【：#。】从形式上考虑的，并不【顾到#顾及】直觉内容的基本法则是一个逻辑上一致的系统。”

24页《2.3无理数》――这里大约有一个数学史的错误，毕达哥拉斯拿出100头牛献祭的是发现勾股定理的事情，整个学派坚持“世上所有真实的数都可以用整数之比表示”，也就是不承认‘无理数’的存在。在这个学派中，有个人提出了根号二的无理性问题；最后这个人在准备坐船逃跑时，被学派的其他人集体谋杀于海水中。

107页-5行：（Z+X^2/12）^3-27（X·Z/6-Y^2/16-X^3/216）【+ ^2】=0

137页14行：“而具有pi/6，pi/3，pi/2【，#；】pi/7，……

217页4行：“当phi=x/l时，即可推出正确的方程【（3）#（7）】。”

274页4行：“著名的关系式e^【ix#i*pi】=1已被发现，…”

278页14行Mv=...=【P#p】Av （v=...）

279页1行：“...因为p是奇数，它既与【x#z】轴相切，又与它相交。”

280页17行、19行：“当av,v是任意【代数5#（…？）】时，就不能得到同样的证明嘛？……如果av,bv是【代数5#（？同上）】……”

285页4行：疑似这个积分表达式里的指数p应该提前一个字符。

卷二：《几何》）

50页、86页、169页――本书中，凡是涉及到矩阵乘法的地方，疑似都需要把其中的一些矩阵调整成它们的转置矩阵，只有做出这样的调整后，行文才算上下通顺。（这大约是一个巨大的系统型版误。）

91页（图15.6）――这里配置两个完全一样的图，根据行文语意，左边一个图，是不正确的。

148页7行、8行、-1行，149页1行――每行的第一个冒号，可以改成破折号，有利于通畅阅读；或者增加行文间距。

164页-7行：【tau2#tau3】.

182页-9行:【2tau1tau#2tau1tau2】.

本书，是上年度参与复旦出版社微公告书评征文活动，获得的赠品。虽然敝人高中毕业十年来浏览过微积分、线性代数、解析几何等高等数学基础课程，读起此书，在公式推导上，依然大量茫然。然非公式的行文部分，流畅豁达，亦有很多收获。可能要过段时间，才能通览（卷三）；最近计划先通览机工版的《线性代数及其应用》，其中习题部分，还需要择时思考。――《高观点下的初等数学》中的数学观点确实很高；真不知道做一个高中的数学教师，需要学习多少『高等数学』。

《高观点下的初等数学》读后感(五)：Strongart教授博文：中学生可以学哪些新数学

最近对中学数学的争议不断，有人叫数学滚出高考，还有说是要降低难度，但也有人指出要让学生了解一点近现代的数学思想。本人自然是赞同后者，只是不能把数学系的课程直接提前下放，而是侧重于中学数学知识的延伸，特别是可以引入所谓的新奇数学（这是由Strongart教授提出的概念，有别于一般的应用数学），既能够开阔视野，又用不着太多的知识预备，下面我就来提一些适合中学生学的新数学。

非欧几何与射影几何：平面几何中的平行共设自然就能引出非欧几何，讲解一点球面的情形，对于学生的视野扩展是很有帮助的。而学完标准的平面几何后，完全可以引入无穷远点，使得原先理论呈现出更优美的形态，相信直线与点的对偶以及一些共线定理，一定能够极大的激发出学生的数学兴趣。等到以后学习微分几何与代数几何，非欧几何与射影几何的直观基础自然是很有帮助的。

单纯形理论：学完立体几何之后，聪明的学生自然会考虑n维几何的情形，这个单纯形理论正是满足了他们的需求。从中看出数学在发展过程中，会逐渐舍弃一些太繁琐的部分，从平面几何到立体几何中，全等形的判定是完全被舍弃的了，只保留最基本的线面关系与简单体积计算，而到了n维单纯形理论中，还必须把几何图形进行规范化处理，从中也可以提现出坐标语言优越性。等到以后学习代数拓扑，单纯形理论无疑就是单纯同调论的基础。

分形几何学：这是由曼德尔勃罗特在上个世纪七十年代创立的新数学分支，属于应用型的新奇数学，其中包含了很多美丽分形图形，可以说是数学中的艺术家。从理论上来说，了解了一般的n维情形，一般学生应该是很满足了，但忽然发现还有分数维的奇特景象，自然是无比美妙的事情。只要掌握简单的极限理论，学生就能够自己计算图形的维数，熟悉计算机的学生还能自己进行绘图，创造更为美丽的数学图形。

直观拓扑与扭结：这个倒是很难找到中学数学的基础，因为它本身就已经非常基础了，具有直观易操作的特性。拓扑学俗称为橡皮几何学，是相当具有趣味性的，中学生完全可以了解其中的基础内容。那个扭结更是拓扑学中非常有趣味的部分，学生完全可以自己用绳子来操作实验，把直观语言翻译成数学语言，通过观察概括小结出其中的规律。等以后学一般拓扑学的时候，这样的拓扑基础也是非常有帮助的。

模糊数学；这是由扎德在上个世纪六十年代创立的新数学分支，属于纲领性的新奇数学，基本思想就是把普通集合推广为模糊集合。然后在此基础上建立整个数学大厦。在学完简易集合理论之后，可以特征函数来判定元素是否属于集合，有些聪明的学生可能会认为取值于0与1来识别的函数太简陋，那么把它完善一下就得到取值于[0,1]的隶属度函数，这就迈进了模糊数学的大门，模糊数学的普遍应用也非常适合中学阶段的半直观数学教学。

复数的超越运算：学完一般复数之后，聪明的学生可能会考虑复数的指数与对数，这个复数的超越元算可以说是呼之欲出的。特别是其中有个异常宝贵的欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ，不仅能够让学生看到指数函数与三角函数的深层联系，而且可以秒杀复杂的三角公式，甚至还可以直接推广到复函数的情形。等到以后学习专门的复分析，这样的基本运算也是一个良好的基础。

四元数：这是在十九世纪中期引入的一类新数，在复数域上再引入复数，同时对交换律进行舍弃。了解了复数之后再学习四元数，可以极大的扩展学生的数学视野，让他们对运算法则与数的构造形成直观的感受，有余力的学生还可以继续尝试构造八元数。等到以后学习抽象代数，这样的思想是相当有帮助的，同时其内在的丰富结构与非交换环、李群等现代数学概念都有密切的联系。

p-adic数：这是在十九世纪由哈密尔顿引入的一类新数，现在已经完成了由新奇数学到纯数学的逆袭，可以说现代数论中必不可少的部分。p-adic数的结构本身就非常美妙，可以说是代数的中分形结构，中学生学一点基础的p-adic数运算，将会更深刻的理解数的构成与计算，同时对距离的概念产生新的思考，其中的二进制运算对于计算机科学则是至关重要的。等到以后学习数论或其他相关知识，p-adic数的结构将是大有帮助的。

交换群入门：这个原本是抽象代数中的内容，但其基本思想就是交换律与结合律，完全可以被聪明的中学生掌握。了解一点初级的群论，可以更深刻的理解四元数与p-adic数，特别是对于交换群的情形，可以不加证明的介绍其基本定理，让学生对于结构的把握产生直观认识，产生初步的大局观。等到以后真正学习抽象代数的时候，学生基本思想上已经有了充分的准备，完全可以把重点放到具体概念的理解之上。

以上就是若干可以被中学生学习的高级数学，主要是侧重于我的个人口味，像排列组合概率之类的都没有列入，实际上应该还有着更多可能性。最后推荐有心的读者读一下下面数学教育名著：

克莱因, 舒湘芹, 陈义章, 等. 高观点下的初等数学[M]. 复旦大学出版社, 2008.