微积分溯源读后感摘抄

《微积分溯源》是一本由[美] 戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）著作，人民邮电出版社出版的平装图书，本书定价：79.80元，页数：200，特精心收集的读后感，希望对大家能有帮助。

《微积分溯源》读后感(一)：重走科学发现的伟大历程

关于微积分的梗，最有名的莫过于学渣与“马勒格必”大战的笑话。高数虐我千百遍，我待高数如初恋，原因是这门课程“一次挂、次次挂，永世不得超生”。对大部分人来说，这是一门高深的课程，无数人在此折戟。

我们当今的微积分课本上，可以轻松地用严谨又先进的方法来证明各种结论。归功于理论研究的进步，在如今，一个初中生的知识储备都远超过欧几里得。但是，课本上的东西，却让我们一叶障目，埋头在题海中不见天日。美国知名的数学教授戴维·M·布雷苏的《微积分溯源》一书，重新梳理了微积分的研究历程。

微积分并非仅仅是许多人印象中的微分和积分那么简单，它最初的萌芽，是用于解决几何问题。在求解几何体面积体积、研究速度和路程乃至天体运动轨迹的过程中，都用到了类似微元的方法。需要指出的是，在当时人们无法理解极限的概念，要得到结论，用的是类似夹逼定理的方法“既不大于......也不小于......”比起我们对微元思想的轻松理解，当时的探索可谓无比艰难。正因为有当初的艰难，才有了现在的so easy。

而微积分的正式研究过程更加漫长，从公元前2世纪喜帕恰斯引入弧长和弦长的关系，直到17世纪牛顿、莱布尼兹关于微积分的伟大贡献，中间竟然经历了一千几百年，人们才逐渐学会从几何中逐渐将代数抽离出来。在这个过程中，人们经历无数怀疑、争论，才最终建立起解析几何，认识到微积分中导数、切线、面积的含义。我们还会看到，诸如第二个重要极限等高数课本上未加证明的结论的由来。

而微积分的建立，无疑对数学具有巨大推动作用。从17世纪到19世纪期间，人们对级数、极限、不等式以及完备性、连续性、敛散性等讨论极大完善了数学大厦，才有了如今高等数学的面貌。这其中的大量知识，虽然步入大学的我们在大一就会学个七七八八，但依然会不同程度被劝退。可想而知，这些伟大发现，来自于何其睿智的头脑。

在作者看来，《微积分溯源》这部作品只需读者对数学具有好奇心，以及极少数其他数学预备知识即可。但从内容来看，这部作品无比硬核，尤其到后边，越来越倾向于结论多于过程，如果没有高等数学储备，理解起来越发难如登天。但即便如此，它也是一部重塑微积分认知的绝佳作品，对热爱数学的人，以及教授微积分的人，都是很不错的参考。

《微积分溯源》读后感(二)：一点感想

推荐阅读人群，排名分先后（个人感觉排的）：

1. 教授微积分的人（这个译者后记有提到，读后也有同感。可能是最适合读本书的人了。）

2. 数学基础较好的人。起码对于三角函数及微积分相关内容比较熟悉，想从历史发展角度理解微积分。

3. 纯数学爱好者，至少有一定数学基础。

以上2,3类人，需要有坚强的意志，或者对数学有极大的兴趣。如果是初、高中生，还是有点吃力。因为里边很多引用，可能还是要找原著去看后才能理解。

所以，如果不是以上人群，我的建议的不要阅读本书，等待大一，或者高中学过一定微积分基础后，作为一个课外知识和业余消遣更好。如果你是以上3类人群之一，或者说你想挑战自我，都可以尝试本书。

通读下来，能深刻体会到作者对于数学历史的知识应该是刻在骨子里的，几乎每个提到的典故都会给出对应的引用及出处，确实符合其数学教授、数学学会会长的身份。但是这些典故的引用，尤其是对于证明部分的讲解确并未展开，这便成了一把双刃剑。对于熟悉这块知识，或者有能力查到原著补全这部分知识的人来说，本书无疑编程了一本相当精炼的索引书；但是对于无法补足这块，或者无能力通过引用书籍学会对应知识的人来说，可能就寸步难行了。

即使是一些本书内讲解的例子，也需要仔细阅读，自己动手推导才能完全理解。个人觉得如果有机会，可以看一下线上版的，可以看到别人批注的版本。

例如：

1. P26-P27讲的 “acute hyperbolic solid”（尖双曲体），原书的配图+文字可能理解起来会需要读者用很多时间。我做了以下简单图示批注，至少个人理解就简单多了。

2. P58-P59 讲如何理解阿尔-花拉子密的《代数论》的“一个数的平方，再加上这个数的10倍，结果是39个单位。”的这句话时，配图的几何求解法，还是要多加些批注（如下图个人理解的批注），可能会让读者更快速的理解，而不需要都自己推导。毕竟不是每个人都在看书的备着笔。当然也可能是我阅读理解能力偏差，还是需要更清晰一点。

不过书中更多的典故，还是比较吸引我的。尤其上边提到的“阿尔-花拉子密”，“algorithm”算法一词竟然是由他的名字al-Khwarizmi而来，而最早他名字的变体是“algorism”用来表示十进制计数方法。

书中同样提到了另外一个个人认为在微积分历史上重要的人物，Zeno（芝诺）。不过只是提到了他的第二个提出来的悖论，虽然这个悖论更重要。但是有兴趣的读者可以查查他的第一个悖论，那个应该是我们所有对于数学感兴趣的孩子，从小就思考过的事情。

总的来说，这本书还是比较硬核的，并不如其简介所说的适合中学以上水平的数学爱好者。但是如果是已经学习过对应知识的人，用来重温，或者从另外一个角度去理解微积分还是比较推荐的。尤其是喜爱钻研的人，这本书觉得可以越读越厚，因为引用的书籍之多，我已经放弃查阅，在仔细看过前两章后，只是看看里边的典故就结束了。可能哪天心血来潮，再拿起这本书，重新将第一遍未理解的公式再重新推导一遍也说不准。

《微积分溯源》读后感(三)：序言

本书不会告诉你如何做微积分练习. 我的目标是解释微积分是如何以及为何产生的. 然而, 往往微积分的叙事结构消失在种种法则和步骤背后. 我希望本书的读者能够从微积分的故事中获得启迪. 我假定读者对微积分有一定了解, 但事实上, 我写的绝大部分内容只需要读者具有对数学的好奇心, 以及极少的其他数学预备知识.

大多数学习过微积分的人知道, 牛顿和莱布尼茨“站在巨人的肩膀上”,而且我们今天所学习的课程并非300多年前他们留传下来的内容. 不过令人不安的是, 我们往往会听到这样的解释: 微积分好像是在17世纪晚期就已经完全定型, 而且此后几乎没有变化的一门学科. 事实是, 我们今天所了解的这门课程经过整个19世纪才定型, 被精心组织以满足研究型数学家的需要. 我们今天通常采用的进程, 即微积分AP(前置) 课程所认定的微积分四大核心理念(Four Big Ideas)——极限、导数、积分和级数——对一门分析课程来说是合适的, 分析课程致力于理解在试图应用微积分时可能会犯的各种错误, 但它为理解微积分提供了一条艰难的路径. 本书的目标, 是利用这四大核心理念的历史发展, 来指引抵达微积分的更自然和更直观的路径.

微积分核心理念的历史进程始于积分, 或更准确地说, 累积. 这至迟可以追溯到公元前4世纪对圆的面积等于一个底为圆周长(π × 直径)、高为圆半径的三角形的面积的解释. 在接下来的几百年里, 古希腊哲学家变得擅长于推导旋转多面体的表面积和体积公式. 正如我们将看到的, 这个方法被阿拉伯、印度和中国数学家进一步发展, 并在17世纪的欧洲达到其顶点.

累积并不只有面积和体积. 在14世纪的欧洲, 哲学家将变化的速度作为位移的变化率来研究. 我们发现了积累小的变化量以求得总的变换量的第一个例子. 这些哲学家意识到, 如果物体的速度用一条曲线到一条水平线的距离表示, 则速度曲线与水平线之间的面积就是物体所走过的路程. 因此, 路程的累积可以表示为面积的累积, 从而将几何与运动联系起来.

接下来出现的一个核心理念是导数, 它包含一系列的解题技巧, 其核心思想是变化率. 线性函数很特殊, 因为输出的变化量与输入的变化量之比值是常数. 在公元500年左右, 古印度天文学家在研究弧长的改变如何影响对应的弦长的改变时, 发现了我们今天视为正弦与余弦的导数. 他们在探究敏感性, 即导数的关键应用之一: 理解一个变量的小的改变如何影响一个相关联的变量.

在17世纪的欧洲, 变化率的研究以切线的形式出现. 最终, 它们汇入变化率的一般研究. 微积分诞生了, 牛顿与莱布尼茨相互独立地认识到, 求解累积问题与变化率问题的技巧是互逆的, 从而使得自然哲学家使用在一个领域内找到的解来回答另一个领域内的问题.

出现的第三个核心理念是级数. 虽然写成无穷和的形式, 但无穷级数其实是部分和序列的极限. 级数独立地出现在13世纪的印度与17世纪的欧洲, 其建立源于对多项式逼近之基础的探索. 当微积分建立起来以后, 在18世纪早期, 级数成了为动力系统建立模型的必备工具, 其地位是如此重要,以至于欧拉——为18世纪数学定型并确立了微积分威力的数学家——断言, 对微积分的任何学习都必须从无穷级数开始.

术语无穷求和是一个自相矛盾的组合. 从字面上看,“无穷” 意味着没有终结, 而“求和”(summation) 与“顶点”(summit) 相关, 意味着引出一个结论. 所以, 无穷求和是一个引出结论的无休止的过程. 如果应用时不小心, 就可能引出错误的结论和显然的矛盾. 主要是理解无穷和的种种困难, 在19世纪推动了最后一个核心理念——极限——的发展. “极限” 一词的通常用法包含了会令学生误入歧途的种种含义. 正如格拉比内(Grabiner) 指出的, 极限的现代含义源于不等式的代数, 这些不等式通过控制自变量而控制了因变量的振幅.

按照历史顺序, 微积分的四大核心理念, 即我们前四章的标题依次是:

(1) 累积(积分);

(2) 变化率(导数);

(3) 部分和序列(级数);

(4) 不等式的代数(极限).

此外, 我补充了一章以介绍19世纪分析学的某些方面. 不清楚代数在微积分中如何应用的人不应该教授代数, 同理, 不清楚微积分在19世纪如何演化的人不应该教授微积分. 虽然严格遵循这个历史顺序也许是不必要的, 但任何讲授微积分的人应该明白不遵循它的潜在危险.

那我们又怎么会采用一个与历史近乎相反的顺序呢: 首先是极限, 而后是导数、积分, 最后是级数？ 答案是, 这是19世纪研究型数学家的需要, 他们揭示了微积分内部的显然矛盾. 正如欧几里得所开创并为数学界广泛接受的范式所要求的, 一个逻辑上严格的解释始于精确的定义和对假设(在数学词汇中以公理著称) 的陈述. 由此出发, 人们建立论证, 得到定义和公理的直接推论, 进而将它们糅合在一起, 作为推演更微妙、复杂的命题和定理的基石. 这个方法的优美之处在于, 它使得任何数学断言的检验变得非常便利.

这就是目前微积分教学大纲的结构. 由于导数和积分都建立在极限的概念之上, 因此从逻辑上说, 极限要首先登场. 从某种意义上说, 接下来出场的是导数还是积分并不重要, 但导数的极限定义比累积的极限定义要简单,后者的精确阐明直到1854年才由黎曼给出, 而且包含了极限的复杂应用.因此, 导数几乎总是在极限之后出场. 在大一的微积分课程中, 为了实际应用, 介绍的级数是泰勒级数, 它是用导数定义的多项式逼近的延伸. 正如在大一微积分课程中所应用的, 级数可以出现在积分之前, 不过这些理念的相对重要性通常会使得积分被置于级数之前.

对那些想要检验微积分在逻辑上合理的学生来说, 我们当前所采用的进程是合适的. 不过, 大一学生中只有极少数人有这个需求. 通过强调微积分的历史进程, 学生会理解这些核心理念是如何发展的.

如果当前的教学大纲在教学上是合理的, 事情也许不会如此糟糕. 不幸的是, 并非如此. 从四大核心理念中最成熟、最困难的极限开始, 就意味着大多数学生无法理解其真实含义. 极限要么被简化为一种具有一定有效性但可能导致许多错误假设的直观概念, 要么学习它就得死记硬背许多技巧.

下一个教学问题是积分——现在它紧跟在导数之后——很快归结为求原函数. 作为19世纪后期回应一个不连续函数如何仍然可积的问题的产物, 黎曼对积分的定义很难理解, 导致学生忽略了作为极限的积分而只专注于作为原函数的积分. 累积是一个非常直观的简单思想. 作为微积分发展的第一步, 这是有原因的. 然而, 那些将积分视为求导逆过程的学生通常很难将累积问题与积分联系起来.

当前的课程设置是如此根深蒂固, 我几乎不指望本书能促使每个人调整教学大纲. 我的希望是, 老师和学生能关注微积分的历史发展, 在教学极限时关注不等式的代数, 在教学导数时关注变化率, 在教学积分时关注累积,在教学级数时关注部分和序列. 为有助于做到这一点, 我补充了一个附录,它源于从数学教育研究中获得的实际见解与建议. 我希望本书能帮助老师们认识到形成于19世纪并在20世纪融入当前微积分课程中的定义与定理所固有的概念上的难点. 这包括极限、连续性、收敛性的精确定义. 即便没有它们, 伟大的数学家也做出了伟大的工作. 但这并不是说它们不重要. 它们较晚才进入微积分的世界, 因为它们阐明了数学界慢慢才理解的一些微妙之处. 如果大一学生难以理解其重要性, 我们不应感到惊讶.

对于我如何称呼微积分创立中所涉及的人物, 我还想说几句. 对公元1700年以前的人, 我称他们为“哲学家”, 因为他们认为自己是哲学家, 是“喜爱智慧的人”. 没有一个人将自己限于研究数学. 牛顿和莱布尼茨即如是.牛顿将物理视为“自然哲学”, 即对大自然的研究. 对1700年到1850年的人, 我称他们为“科学家”. 虽然这个词直到1834年才被发明出来, 但它精确地捕捉了这一时期发展微积分的所有人的广泛兴趣. 许多人仍然将自己视为哲学家, 但重心已经转移到对我们周围世界的更实际的探究. 他们中几乎每个人都对天文学和今天我们所称的“物理学” 感兴趣. 1850年以后, 大家往往只专注于数学问题. 在且仅在这个时期, 我将称他们为数学家.

我要对帮助我完成本书的许多人表示由衷的谢意. 吉姆·斯莫克, 一位未接受过正式训练但懂得极多数学历史的数学家, 对我启发很大, 并对早期的初稿提供了极有用的反馈. 我要感谢威廉·邓纳姆和迈克·厄尔特曼提出了许多有用的建议. 普林斯顿大学出版社的薇姬·卡恩和剑桥大学出版社的凯蒂·利奇都对本书表示出兴趣. 他们的鼓舞激励我完成了本书. 他们两位都将我的初稿拿给了审稿专家. 我得到的反馈非常有价值. 尤其要感谢剑桥大学出版社的审稿专家逐行阅读了全书, 使我的行文更加紧凑, 并建议进行了许多增删. 您将会在全书中看到您留下的痕迹. 我要感谢我的制作编辑萨拉·勒纳, 尤其是我的文字编辑格伦达·克鲁帕. 最后, 我想感谢我的妻子简, 感谢她对我的支持. 她对历史的热爱帮助我将这本书定型.

戴维·M. 布雷苏

bressoud@macalester.edu

2018年8月7日