《证明与反驳》读后感1000字

《证明与反驳》是一本由(英)伊姆雷·拉卡托斯著作，复旦大学出版社出版的平装图书，本书定价：15.00元，页数：193，特精心收集的读后感，希望对大家能有帮助。

《证明与反驳》读后感(一)：数学也可以像小说一样有趣

这是一本让我不仅仅觉得是所描述的数学内容有趣的书。书中以对话体的方式，通过历史上对多面体欧拉公式的真伪辩论，来说明作者对于科学发现的认识。

如何才能证明一个定理为真？或许这是不可能的，因为人类的语言没有明澈到这么一个地步，能够毫无偏差地描述所要描述的概念。（这句话本身就有点问题，既然已经是定理了，又何必去证明？或许应该说是猜想——但你又怎么能说一个已经被证明为真的定理不会在基本的定义上出现问题而被人全盘推翻？）那么应该如何定义基本的概念？唯一稳妥的方法就是不加定义。那么你如何知道自己心中的概念就是正确的概念？天晓得，或许你只有透过历史上不那么明晰和正确的定义来评判自己。

原来所谓的科学就是错误的堆积，加上空灵的概念。等你抽掉下面的梯子时，科学的大厦就完成了。

《证明与反驳》读后感(二)：形式化的正确地位

该书要面对的首要问题就是：数学知识的发展是不是形式化的演绎推理。

我觉得傻子也知道根本不是，这何以能够成为一个重要的问题。

数学学者，乃至自然科学学者，都有一种极大的惯性，将学术发现史的艰辛历程全然抛弃，一旦综述诞生，之前的一切都不再重要。不管不收敛级数有没有遭到过困境，不管复函数有没有遭到过批判，只要逻辑大厦一旦建成，种种概念环环相扣，理论体系无懈可击，历史的结果就代表了历史的进程。数十年以至数百年不断地探索，新概念不断厘清，最终形式化的定义、证明出炉，于是一切探索皆可抹杀，甚至于还敢于抛出这样无比荒唐的谬论——

数学的发展就是形式化演绎的进程！

形式化的幼稚观点不仅反映在对待数学的态度上，还存在于对待数学哲学的态度上。画上三个脸谱，然后说，这个是逻辑主义，那个是直觉主义，那个是形式主义，然后开始站队。数学的幼稚也就此表露无遗了。这不是严肃的哲学，哲学不是摆几个名词下一个定义就完事了的——那充其量也只能是十分低档的哲学史（比方说中国中学阶段所教的“哲学”）。

真正严肃的哲学探讨只能期待哲学学者来进行了。我们不能不感叹作者选择了这样一个巧妙的话题——多面体欧拉公式——来揭示数学发现的过程，19世纪的漫长争论就浓缩在这样一篇对话录中。对概念的细化，对引理的强化，对反例的拒斥，清晰地说明了数学理论进步的模式。我们今天的微积分是否还是牛顿时代的微积分？我们今天的级数是否还是欧拉时代的级数？我们今天的函数是否还是柯西时代的函数？概念在不断地扩充演变，反驳也在不断地涌现深化。这一切仅仅是公理化、严格化就能够解释的吗？积分理论何以又要一次又一次地不断公理化？函数论何以一次又一次地扩张它的疆域？

当形式化的证明终于出现，公理化的基础终于奠定，数学的工作绝不可能仅仅只是去发现定理、逻辑推演。形式化只是理论再前进、反驳再涌现的新的起点。形式化应该得到它应有的地位，并且也应当摆正它的地位。

P.S. 作者简介中介绍到他好像和波普尔有很密切的关系。

《证明与反驳》读后感(三)：不正经的书评 读出了鸡汤的味道

这本书要讲的道理非常清楚，作者在引言里面已经说得很清楚了，

无非就是在“演绎法”和“归纳法”，或者“理性主义”和“经验主义”之间站个队。为了表达自己的观点，作者花了大精力考古了“笛卡尔-欧拉猜想”和“连续性原理”的发展历程，说明数学的发展是递进的、逐渐完善的过程。在明确了作者的意图后，我悄悄地回想了一下自己以前的一些行为，觉得自己大概是一个“始于归纳法，终于演绎法，但归根结底是个归纳法”的人。在确认了三观上没有和作者有重大冲突后，便愉快地开始看书了。至此，对书中数学知识我就没有什么评论了。

本来也没有打算写书评，但是在阅读的过程中，我意外地被数学家的工作态度和方法所启发，也就读出了一些心灵鸡汤的味道，还是值得记录下来。

- “我怀疑xxx时会有xxx的问题。”

- “怀疑不是批评。”

- “那反例算吗？”

- “当然算。我们可以忽略不喜欢与怀疑，却不能无视反例。”

但凡做事情的人，总免不了遇到各种挑战、非议和质疑。区分这些声音非常重要。我觉得，大多数声音是“怀疑”，只有很少的是有价值的“反例”。大多数时候这种区分不是很难。难的是对不同的声音采取明确不同的态度。

书中的例子，“笛卡尔-欧拉猜想” ，应该是最简单的几何定理之一了吧，定理的表述和证明都没有超出初中的几何范畴。但是作者抽丝剥茧，还原了围绕原始猜想的展开的反例、反驳、改进，最后结束于把猜想翻译为矢量理论的一种表述。但是，依然没有承诺证明的“终极性”。

让我嗔目结舌的是，面对样一个简单的定理，最聪明的数学家在分析他的时候竟然会出现如此多的漏洞，大家可以看看下面一些“奇怪”的形状，都是历史上针对猜想的反例，

...

真是脑洞大开。总是让你觉得“这次所有的情况都考虑清楚了，应该没问题了”，然后马上被打脸。

这让我很不安，我自己每天思考的内容、看到的别人思考的结果，几乎可以肯定是不堪一击的，无法达到最基本的完备性。这有什么解决办法吗？没有。不过，尽管悲观的一面是，对于每天面对的问题，我们无法找到完美的解决方案，但是乐观的一面是，如果你愿意多花些时间去思考，去Think Loudly，就可以很容易地比大多数人做的都好。

《证明与反驳》读后感(四)：数学的争锋与“证伪”

细读书评

康宏逵老先生的书评，初看看不懂，只感觉是对这样一本丰富、有趣的书的高深莫测的讨论。直到自己也写书评，决意细细滤清书中人物的观点和议论时，才清醒地意识到这场讨论里存在的大象。拉卡托斯隐身于这间教室，如果前半部分一路走到一证多驳法，还可以说只是对历史情境的再现，其中未掺杂拉卡托斯本人的主观感受的话，那么后半部分论及概念的形成与扩张、分析与综合的关系，忽然就少了百家争鸣，而只成了他本人的演说场了。

因而，本书是可以一遍遍精读的书。初读可以是数学哲学的启蒙，领会直觉主义和形式主义的要义；再读可以是数学史一条线索的回顾，柯西、勒贝格、布劳威尔、庞加莱、希尔伯特的身影时隐时现；细读则看到拉卡托斯本人的科学哲学进路，概念的伸缩扩张、启发式反驳或归纳，以及其中种种（或许作者自己还未能察觉）的矛盾对立。成书与库恩的《科学革命的结构》相近，这使得拉卡托斯还不至于陷入波普尔和库恩论证的框架内，也不必过于繁复地在理性主义和非理性主义之间纠缠。而对于读者来说，也可以避开科学哲学到科学社会学的转向，从书中发现新的思路。

（初读和细读后的感受大不相同。或许初读时的笔记更有助于回顾，犹豫之后还是放出。）

作者虽然是20世纪中早期的学者，但依旧能透过时间看到今日的窠臼。借欧拉公式“V-E+F=2”的讨论，一是对希尔伯特以后数学形式化的批判，二是于数学的教条主义与怀疑主义（或非理性主义）之间的寻找出路，三是借此构建自己的证明-反驳式的数学发展模型，并区别于波普尔的证伪理论。

一方面，作者认为关于“欧拉多面体”的定义绝不是不证自明的。此处他援引了波普尔的态度：“若一些定理是显然的，便须解释为什么会有人在它们之上犯错误，换言之，为何真理并非对一切人皆是显然。每一种教条主义认识论都根据各自特有的错误论，提供各自的特殊疗法，以清除思想中的错误。”也即，从对“简单多面体”的质疑出现开始，数学家就有必要去回应这个问题，不能简单地将其推向直觉。

书中，Delta和Alpha是这种直觉主义观点的持有者。Delta是一个朴素的理性主义者，他只愿将问题域界定在原本期望的概念之中，因而面对质疑，他企图回避，但又不得不一再修改原始定义、或者增加限定条件。这种保守，在当时不免被讽刺为教条，从而丧失了阵地。（直到20世纪语言学和分析哲学的兴起，才重新略略地为Delta的观念正名。见Pi，8.c）。

而Alpha，作者设计了他从早期纯粹的怀疑论者到后期现代直觉主义者的演变。Alpha反对过于形式化的体系，他认为语言的含混不应干扰到定理本身的正确性。

但是实践中的Alpha，总是试图隐藏一些先验条件，因而遭到嘲笑。比如这里作者依旧借用逻辑学家Gamma的话称：

另一方面，作者也并未轻易地允许“改良派”踏入证明的领地。显而易见的，这种重新定义势必受到数学家和语言学家的重重审视，因而不得不一而再地进行修改，作者很好地总结了这个“策略性撤退”的过程。但更加深刻的是，作者始终关注，变化后的数学定义，究竟是否带来了更多的（a）确定性：有关命题的知识（b）“终极性”。尤其，这里的“终极性”，讨论了是否仅为了语言上的必要而将原命题的问题域缩小，进而知识量缩小。

为平衡这种确定性和终极性，作者最终借由Lambda说出了现在科学界盛行的“一证多驳法”，在这里，为了保证定理的准确无误性，数学家必须找到尽可能多的反例，然后再将这些反例排除在定理本身之外。作者犀利地指出，这样一个知识探索的过程，其本身已不再能被简单概括为传统的“提出命题”“证明命题”“得到定理”的三段式中，而变成了一个证明与反驳结合在一起的“怪物”，它更适合被命名为“证明分析”，以区别于传统的三段式的“证明”。在这之中，证明与反驳已不再有清晰的界限：

这不得不为非经典逻辑（Sigma，三值逻辑）开辟了空间。在这里，真或假已不再有清晰界限；又或者，也有历史主义或者不可知论的复苏（Kappa，“证明中有一种无穷回归现象；故证明并不行其证明之实”，4.e P38）

于是，这个形式化的过程被作者无不辛辣地总结为：

到这里，基本上就再现了数学界对欧氏几何之后的几何学问题的种种哲学争议。虽然作者后来又提及了语言学家的研究和几何学矢量化的趋势（代数几何），但整体上来讲已经非常清晰地展现了数学界直觉主义和形式主义两大学派的分歧和各自的利弊。面对这种先天矛盾，在彻底倒向实用主义并彻底放弃数学哲学的探索之前，我想重新记录下问题的肇始，不论何时，他们的启迪终有意义：

数学家可以终止于一定的实用主义，但数学哲学家并不是。本质上，作者希望借用对这段数学史中证明、反驳过程的回顾，为数学的知识论下新的注脚。这里，可以大略地分为了三个子部分：借Omega和Mu讨论的知识发展的拓扑学、借Pi提出的“概念形成的一般讨论”和借Zeta引出的演绎理论以及分析与综合的关系。

借用Omega和Mu，作者总结了之前的辩论过程，将证明与反驳的过程中寻找反例或者寻找反例的反例的过程中，问题域存在不断变小而后又扩大的现象，总结为三个互有诱发的问题域——“证明的范围”、“证明分析的范围”和“朴素的证明范围”，作者借用Mu，指出这三个问题域是有拓扑的性质的，进而发问拓扑学上通常需要考虑的极限、上下界问题。

借Pi，作者希望调和直觉主义和逻辑主义的传统。他认为如上的知识拓扑学问题受到初始问题域的强烈影响，不同的起始问题，很可能会导致不同的方法和结论。这里，他很有建设性地提出了“概念扩张”和“概念收缩”为Delta朴素的理性主义做辩护。

这本书就在代数几何的序幕中戛然而止。