《代数的历史》读后感锦集

《代数的历史》是一本由[美] 约翰·德比希尔著作，图灵｜人民邮电出版社出版的平装图书，本书定价：79.00元，页数：370，特精心收集的读后感，希望对大家能有帮助。

《代数的历史》读后感(一)：数学与物理现实微妙而精细的对应，仿佛来自虚空

每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来孜孜追求的对知识的冒险历程时，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。本段引用自欧阳毅教授的译文《仿佛来自虚空》。——译者注

《代数的历史》读后感(二)：把数学科普的旅行拉进1970年代

这本书在众多的数学文化科普书有自己的特点：其一，一般数学科普书是谈数学多，谈历史少。这部书在前几章把比重倒了过来，不仅介绍相关的数学史，还把所处时代的政治、宗教等历史进行了介绍。比如介绍伟达时，讲述了当时的法国国王如何登上宝座的背景。其二，一般数学科普书少有介绍20世纪以后的数学。一般讲到伽罗瓦理论、非欧几何而已。否则会担心读者的接受程度。本书一直介绍到代数几何，范畴论。数学家也就扩展到格罗滕迪克、艾伦伯格、迈克兰恩。可谓难能可贵。其三、推荐了相关的教材和扩展阅读书目。包括迈克尔.阿廷的《代数》、史密斯的《代数几何入门》，伯克霍夫和迈克兰恩的《近世代数概论》，还有爱德华兹的《伽罗瓦理论》。最后，作者直言自己喜欢数学中的直觉主义流派。这也是在众多数学科普作者中难得一见的真诚直爽。

《代数的历史》读后感(三)：关于低年级代数教学的草率调研

一、三种数学 依据个人经验，我把数学教育分为三类：“文科生”数学、“数学家”数学、“工程师”数学。 “文科生”数学的特点是死记硬背。比如熟练背诵乘法口诀表，但不深入解释乘法的意义，以及各种速算巧算珠心算技巧。这些无疑需要避免。 “数学家”数学的特点是高度抽象。目的是建立一个自洽的逻辑体系，在这个体系内推演出各种知识。而这个体系本身并不需要和现实世界发生联系。比如我之前做的《学数学家讲解小学数学》系列，讲究的是“阅尽千帆，归来仍是少年”。但对于普通的少年儿童（包括大部分成年人），他们在这个阶段的心智发育很难完全消化这种“高观点”下的数学教育。 我最熟悉的是“工程师”数学。这是一种实用主义的数学教育，以解决具体问题为导向。粗略地说，要成为一名具备充分数学能力的非专业人士，掌握以下5项技能足以：算数、初等代数（解方程）、基本函数和曲线（解析几何）、微积分、概率与统计。 二、两次飞跃 幼崽今年小学二年级，我一直在尝试向她灌输一些初步的代数知识（因为没有人学不会算数，而后三项对于小学阶段来说还太难了），但是效果很不理想。 深感挫败之余，我去查了一些资料。发现我可能把事情想的太简单了，我开展的这项“人体实验”也许违背了一颗普通人类大脑的发育规律。 我期望的效果是幼崽经过训练能根据具体的数学问题列出方程（组），然后求出方程的解。如果能达到这个水平，在小学阶段应该足以乱杀了。然而理想丰满、现实骨感。 其实算数（数数）和初等代数（求未知数）分别对应着数学史的两次飞跃。在《代数的历史》一书中写到： 所有数学都是抽象的。最早的数学抽象发生在几千年前，当时人类发现了数，完成了从 3 根手指、3 头牛、3 个兄弟、3 颗星星等可观察的 3 的实例向本身就可以被单独考虑的心智对象“3”的充满想象的飞跃。 将抽象层次提升到第二层的第二次数学抽象发生在公元 1600 年前后的几十年里，人们采用字母符号体系来表示任意数或未知数。这段漫长而充满羁绊的旅程主要是为了求解方程，或者说是确定某些数学情形中的未知量。这是一次在我们的集体意识中播下“代数”种子的旅程。 也就是说，人类花了上千年的时间才从“2+3=5”走到“2+？=5”。更准确的说，这类问题人们很早就开始研究了，很多古文明的遗迹中都记录着写成文字形式的方程。但是形成符号代数的进展极其缓慢，一旦建立起这样的字母符号体系，对方程的研究就进入了更高的抽象层次。于是，新的数学对象出现了，它推动数学向更高的抽象层次飞跃。 三、初等代数 “小明今年8岁，10年之后他和哥哥一共50岁，问哥哥今年几岁？” 幼崽的解法是： 1、8+10=18（10年后小明的年龄） 2、50-18=32（10年后哥哥的年龄） 3、32-10=22（哥哥今年的年龄） 这是标准的算数思维，每一步都用老数计算出新数，步步为营，直至终点。 我想引导她的解法是： 1、假设哥哥今年x岁 2、10年后哥哥x+10岁，弟弟8+10岁 3、（x+10）+（8+10）=50 4、x=50-28=22 我发现接受第1步假设未知数这个概念就是一个巨大的认知挑战。即使我反复示范，当遇到新的问题时，幼崽还是不能自觉地从假设未知数出发开始解题。她想的总是根据目前已知的数能够算出什么来。 后面两步则要求把文字问题翻译为符号表达系统。这也是直到近代才发展出的数学技巧。我感觉很像在学一门外语，时间的积累是必须的，并不存在恍然大悟，醍醐灌顶的啊哈时刻。 最后需要求解出未知数。同样的，幼崽还是很难从算术转换到解方程。她总是不断用等号来连接各个步骤：x+28=50=50-28=22。显然并没有领会求未知数这个新任务的精神。 莱布尼茨说过：代数就是在做算术和求解方程的过程中使用字母符号来“放飞想象力”。但对普通儿童而言，起飞并不容易。 四、脑的发育 几千年的时间足够人类发展出繁复的数学体系，但对于人脑的进化而言只是弹指一挥间。当你掌握了初等代数再回头看，感觉只是捅破了一层窗户纸。但对于一个正面进攻的儿童而言，他面临的是一堵跨越千年的进化之墙，不是几个月甚至几个星期就能突破的。 难怪公立教育都把小学高年级作为接触初等代数的起点，并且要花好几年的时间持续进行训练。普通儿童的大脑发育不支持提前抢跑。强行上马事倍功半。 我在网上搜到一篇论文叫《The change of the brain activation patterns as children learn algebra equation solving》，这项研究对比了大学生和12～15岁的儿童在解方程时的大脑活动图像。两者大同小异，但是儿童的大脑表现出了更强的可塑性。 论文认为人在解方程时，会调动大脑中的三块区域：第一块区域用于存储方程以及想象中方程变形的图像，第二块区域用于搜索相关的代数规则，第三块区域用于处理每一步的计算。 我揣测低年级的儿童可能只具备第三项能力，他们的大脑硬件还不支持前两项任务。另一方面，儿童的大脑活动表明他们对训练更敏感，因此论文最后认为这个年龄段可能是引入代数学习的合适时机。 当然很多论文也就那样，不代表就是金科玉律。总之，通过对数学史和大脑机制的草率调研，再结合亲生人体实验的效果，我认为代数这事儿吧，不可操之过急。

《代数的历史》读后感(四)：人类对未知量的不舍追踪

毫无疑问，数学学习是一件十分困难的事情，因为数学的抽象程度在不断地提升。小学时，我们便要开始理解自然数、分数、质数、一元一次方程等等，初中时便有负数、一元二次方程等，高中时导数、圆锥曲线，更不必说大学时的极限、矩阵……抽象程度愈高，实感便会愈差，理解起来便会更加难以切入。所以，最好能够了解了解抽象概念产生的背后的原因，这样能够辅助理解。这便是我去阅读这本书的动机所在。

这本书从最古老的数开始讲起。要知道“数的现代概念在 19 世纪后期开始形成，并在 20 世纪二三十年代在数学界广泛传播。”，所以我们在小学学习的自然数、质数、整数等概念，都是经过了上千年的孕育、发展和传播，才形成了大家头脑中的共有概念。一个有趣的例子是数字0和负数的发现。要知道，在古希腊欧几里得时期，欧几里得已经可以用反证法证明2的平凡根是无理数了（PS：数学的魅力之一便是2000多年前的数学证明，今年依然是成立的，仿佛不随时间变化而变化），但是公元16世纪的韦达，依旧认为负数是没有意义的，于是就像我们初高中会舍去二次方程中的复数根一样，韦达会舍去方程的所有负数根。从欧几里得到韦达，接近2000年过去了。所以，数学基础概念的产生和发展，无不是经过漫长的时间和反复的检验，反映着人类对未知的不舍探索。下次再学不下去某些数学概念的时候，不妨搜一搜这些概念为什么被提出，背后又有哪些故事呢。

在书的前半部分，另外一个有趣的事情是我们对于数学表示或者说符号化过程的探索。我们从小就会学到1，2……这样的阿拉伯数字，x，y，z……这样的未知数，还知道分数怎么些，平方怎么写。但是，实感物象的抽象表达走过的路程远比数学概念的发展要慢得多。要知道，莱布尼茨和牛顿对微积分的表示方法并不相同，并因牛顿落后的表示方法拖累了整个英国的数学发展。阅读这部分，实际上是看人类是如何不断提高抽象化表达的能力。

第三章 还原与对消

书的第七章之后，能明显感觉到代数的发展提速了，抽象程度更加高了。以前探索方程的解，从一元二次方程到一元三次方程用了几百年，从一元三次方程到一元四次方程用了十几年，但是从一元四次方程到一元无穷次方程，催生了新的代数学领域群论的诞生。后面，又有域论、环论、拓扑、流形……以至于，数学的发展大大领先于了实感理解的物理世界。引用书中的话：

虽然这些内容本身我并看不懂，但是能够从这些不舍探索中看到人类对未知的探索，对自然的认知，特别是数学与物理开始产生奇妙耦合的时候，让人是如此地难以置信，不由得想到爱因斯坦的名言“ 宇宙最不可理解之处是它是可理解的 ”。

最后用书中引欧阳毅教授的译文作结，来表达对未知探索中的奇思妙想和冥冥对应的敬意。

《代数的历史》读后感(五)：引言

本书是一部代数的历史，写给好奇的非数学专业人士。

作为这样一本书的作者，我似乎应该在开头告诉读者什么是代数。那么，什么是代数呢？

我最近逛了一家机场书店，发现那里摆放着高中生和大学生常用的公式表小折子，在折叠成三联的塑封纸上印有某个数学主题的所有基础知识，其中有两部分是关于代数的，标题分别是“代数——第1部分”和“代数——第2部分”，副标题说明这两部分“涵盖了小学、中学和大学课程中的数学原理”。[1]我浏览了这些内容。有些主题在数学专业人士看来并不属于代数。比如，“函数”“数列和级数”应该属于数学家们所说的“分析”。

不过，总的来说，这两部分概括了基础代数的主要内容，还明确地给出了现行美国高中和大学基础课程中“代数”一词的常见定义：代数是高等数学中有别于微积分的一部分。然而，在高等数学中，代数作为一门独立的学科有其鲜明的特点。

20世纪伟大的德国数学家赫尔曼·外尔（1885—1955）曾在1939年发表的一篇文章中留下一句名言：最近，拓扑学天使和抽象代数恶魔正在为争取各个数学领域的数学家的灵魂而决斗。[2]

读者或许知道拓扑学是几何学的一个分支，它有时也被称为“橡皮几何学”，研究的是图形在拉伸、挤压但不撕裂的情况下保持不变的性质。（对此不了解的读者可以先阅读第14章中关于拓扑学的详尽介绍。关于外尔的更多评论也可参考第14章。）拓扑学告诉我们平环与纽结之间的差异、球面与甜甜圈表面之间的差异。为什么外尔要把无害的几何研究与代数严格对立起来呢？

或者，你可以看看第15章开头给出的那份获奖名单，其中列出了近年来科尔代数奖（Frank Nelson Cole Prize in Algebra）的获奖情况。非分歧类域论、雅可比簇、函数域、原相上同调[3]……显然，我们已经远离二次方程和绘图了。

它们的共同点是什么呢？最简洁的答案就隐含在外尔的名言中：抽象。 当然，所有数学都是抽象的。最早的数学抽象发生在几千年前，当时人类发现了数，完成了从3根手指、3头牛、3个兄弟、3颗星星等可观察的3的实例向本身就可以被单独考虑的心智对象“3”的充满想象的飞跃，这里的“3”不再表示3根手指之类的特殊实例。

将抽象层次提升到第二层的第二次数学抽象发生在公元1600年前后的几十年里，人们采用字母符号体系（使用字母符号）来表示任意数或未知数：“data”（给定的量）或者“quaesita”（要求的量）。艾萨克·牛顿爵士（1642—1727）称之为“普遍算术”。

这段漫长而充满羁绊的旅程主要是为了求解方程，或者说是确定某些数学情形中的未知量。这是一次在我们的集体意识中播下“代数”种子的旅程，也是我在本书第一部分要讲述的内容。

如果在1800年问一位受过良好教育的人什么是代数，他也许会说，代数就是在做算术和求解方程的过程中使用字母符号来“放飞想象力”（莱布尼茨）。当时，掌握或者至少熟悉数学中的字母符号体系的用法是欧洲通识教育的一部分。

然而，在19世纪[4]，这些字母符号开始从数的领域中分离出来。各种奇怪的新数学对象[5]被发现[6]：群、矩阵、流形以及很多其他对象。数学开始飞向新的抽象层次。一旦字母符号体系彻底深入人心，这个过程就是字母符号体系的自然发展。因此，把它看作代数学历史的延续不无道理。

因此，我把本书分成以下三个部分。

第一部分：从远古时期到大约公元1600年，字母符号体系（即用字母表示数）被广泛使用。 第二部分：字母符号体系在数学上取得的首次辉煌成果，以及符号从传统算术和几何概念中缓慢分离最终导致新数学对象的发现。 第三部分：近世代数——把新的数学对象置于坚实的逻辑基础之上，抽象层次更高。

因为代数学的发展与所有人类活动一样，是随机且无规律可言的，我很难严格按照年代顺序叙述，特别是19世纪的代数。尽管如此，我希望我的叙述方式是合理的，希望读者对代数学发展的主要线索有清晰的认识。 我的目的不是向读者讲授高等代数。

这方面的优秀教材有很多，我会在叙述过程中推荐一些教材。这本书不是教材。我只希望能够展示一些代数学概念的模样，以及后来的代数学概念是如何从先前的概念中发展而来的，哪些人扮演了重要的角色，历史背景又是怎样的。

然而，我发现如果不对这些代数学家所做的工作做一些简单的解释，就不可能说清楚这门学科的历史。因此，本书中有大量的数学知识。对于那些高中课程中通常不会讲到的内容，我把它们简单地整理了一下，放在贯穿整本书的“数学基础知识”部分中，而这些基础知识穿插安排在你需要通读以便跟得上历史叙述的地方。每一部分的数学知识都介绍了若干基础概念。在某些情况下，我会扩展正文中的概念。介绍这些基础知识的目的在于唤起那些已经学过某些大学数学课程的读者的回忆，或者为那些没有这样的经历的读者提供最基本的知识。 当然，这本书是参考了很多其他人的书编著而成的。我将在正文和注解里注明引用的著作。不过我会经常提到三份资源，因此我有必要在一开始就提醒自己不能忘了致谢。第一份资源是极其有用的《科学传记大辞典》（Dictionary of Scientific Biography），它不仅提供了数学家的详细生平，而且还给出了数学思想起源和传播的重要线索。

另外两本主要参考的著作是数学家为数学家们写的代数学历史：范德瓦尔登（1903—1996）的《代数学的历史》（1985年出版）；伊莎贝拉·巴什马科娃和加林娜·斯米尔诺娃合著的《代数学的起源与演变》（2000年由阿贝·舍尼策译成英文）。在后文中，我在引用这些书中的内容时将直接引用其作者的名字（如“范德瓦尔登说……”）。

我在这里还要感谢另一位为本书做出重要贡献的人——美国芝加哥大学的理查德·斯旺（1933— ）教授。他审阅了本书的手稿，能得到他的指点，我感到万分荣幸。斯旺教授提出了很多意见、批评、修正和建议，大大提升了本书的水准。我衷心感谢他的帮助和鼓励。尽管我力争做得更好，但是“更好”不是“完美”，书中仍然会存在一些错误或者遗漏，对此我负全部责任。 这本书讲述代数学的故事。

这一切开始于遥远的过去，伴随着从陈述句“这个加这个等于这个”到疑问句“这个加什么等于这个”的简单的思维转变，这是未知量，即现在每个人都会把它与代数联系在一起的x，第一次进入人类的思想，实际上是经过了较漫长的时间后，才出现了用符号来表示未知量或任意数的需求。一旦建立起这样的字母符号体系，对方程的研究就进入了更高的抽象层次。于是，新的数学对象出现了，它推动数学向更高的抽象层次飞跃。

如今，代数学已经成为所有智力学科中最纯粹、最严格的学科，它的研究对象是对抽象的抽象的再抽象，非数学专业人士几乎无法领会到其成果的巨大威力和非凡魅力。最令人惊讶也最神秘的是，在这些缥缈的心智对象的层层嵌套的抽象之中，似乎包含着物质世界的最深刻、最本质的秘密。

注释 [1] 2002年由位于美国佛罗里达州博卡拉顿市的BarCharts公司出版，作者是S. B. 基兹利克。 [2] 引自《杜克数学杂志》第5期第489~502页的《不变量》。 [3] 本书遵循黎景辉教授在《代数K理论》一书中的建议，将英文“motivic cohomology”译为原相上同调，“motive”译为原相。——译者注 [4] 有时，我会像历史学家约翰·卢卡奇（1924—2019）那样使用“19世纪”来指代1815年到1914年这段时期。不过这里按照的是通常的历法。 [5]“数学对象”指的是数学家感兴趣的东西，他们努力理解和发展与之有关的定理。非数学专业人士最熟悉的数学对象包括数和点、线、三角形、圆、立方体等欧几里得几何中二维平面和三维空间中的图形。 [6] 发现还是发明？我倾向于采用“柏拉图式”的观点，认为这些对象存在于世界的某个地方，等待人类的智慧去发现它们。这就是大多数数学家在大部分时间里做大多数数学研究时的心态。这一点非常了不起，但是它与代数学历史的关系不大，因此我不再赘述。〔关于这个问题可以参考《最后的数学问题》

（人民邮电出版社，2019年）。——译者注〕